Morse-Conley-Forman theory for generalized combinatorial multivector fields on finite topological spaces

W niniejszej pracy prezentujemy uogólnioną teorię pól multiwektorowych, która w swej pierwszej postaci została przedstawiona w [21]. Bezpośrednim poprzednikiem teorii pól multiwektorowych jest teoria kombinatorycznych pól wektorowych Robina Formana, która z kolei wywodzi się bezpośrednio z dyskretnej teorii Morse’a. Jednym z celów tej rozprawy jest stworzenie kombinatorycznego odpowiednika pól wektorowych obecnych w teorii ciągłych układów dynamicznych oraz stworzenie odpowiednich narzędzi do ich analizy. U podstaw uogólnienia opisywanej teorii leżą trzy fundamentalne modyfikacje założeń. Po pierwsze, definiujemy pola multiwektorowe dla szerszej rodziny skończonych przestrzeni topologicznych, w przeciwieństwie do [21], gdzie konstrukcja dotyczyła kompleksów Lefschetza. Po drugie, odrzucamy wymaganie istnienia unikalnego elementu maksymalnego w multiwektorze. W rezultacie jedynym elementem definicji multiwektora jest założenie o jego lokalnej domkniętości. Uzyskujemy w ten sposób znaczną elastyczność w konstruowaniu pola multiwektorowego. Po trzecie, została uproszczona definicja odwzorowania wielowartościowego indukowanego przez pole multiwektorowe i reprezentującego kombinatoryczną dynamikę. Przekłada się to na uproszczenie dowodów i algorytmicznego aspektu wyznaczania rozkładów Morse’a oraz prowadzi do nowej interpretacji multiwektora jako dynamicznej "czarnej skrzynki". Przy nowych założeniach teorii definiujemy kombinatoryczne odpowiedniki obiektów znanych z teorii ciągłych układów dynamicznych oraz badamy ich własności. Wśród nich mamy: zbiór izolowany niezmienniczy, parę indeksową, indeks Conley’a, zbiory graniczne, atraktor, czy rozkład Morse’a. Pokazujemy również pożądane własności jakich oczekiwalibyśmy od wymienionych wyżej obiektów, m.in. addytywność indeksu Conley’a oraz nierówności Morse’a. Nowe założenia pociągają za sobą konieczność przeprowadzenia nowych dowodów wszystkich własności. W dalszej części pracy korzystamy z podstawowego narzędzia topologicznej analizy danych, tj. homologii persystetnych, do analizy strukturalnej trwałości zbiorów Morse’a. W tym celu konstruujemy moduł persystentny zygzak dla słabych rozkładów Morse’a oraz rozkładów Morse’a. Następnie prezentujemy eksperymenty numeryczne bazujące na omawianej w tej rozprawie teorii. Przedstawiamy algorytm konstrukcji pola multiwektorowego z chmury wektorów. W szczególności uzyskujemy je poprzez próbkowanie wybranych ciągłych układów dynamicznych. W jednym z eksperymentów odtwarzamy graf Conley’a-Morse. Natomiast w kolejnych przykładach korzystamy z homologii persystentnych w celu zbadania ewolucji struktury zbiorów Morse’a względem wybranego parametru modyfikującego dynamikę. Eksperymenty prezentują potencjał dalszego wykorzystania wypracowanych narzędzi do analizy danych o dynamicznej naturze.In this work, we present a generalization of the theory of multivector fields first introduced in [21]. The direct predecessor of the multivector fields theory is the theory of combinatorial vector fields by Robin Forman. His work, in turn, is a natural consequence of a discrete Morse theory. One of the main goals of this thesis is to construct a combinatorial counterpart of vector fields induced by continuous dynamical systems and to create tools for its analysis. The generalization involves three fundamental changes in the setting of the theory. First, we define multivector fields for a broader family of finite topological spaces, in comparison to [21] where Lefschetz complexes are used. Secondly, we lift the assumption that a multivector must have a unique maximal element. Thus, a multivector simply becomes a locally closed subset of space. This results in a greater flexibility in constructing multivector fields. Finally, we define less restrictively the multivalued map induced by a multivector field that defines a combinatorial dynamical system. Consequently, we can simplify the computational aspects of the theory, and we can introduce a new interpretation of a multivector as a dynamical "black box." With a new setting of the multivector fields theory, we define combinatorial counterparts of multiple objects from the classical theory of dynamical systems; among others: isolated invariant set, index pair, Conley index, limit set, attractor, or Morse decomposition. We also show that the desirable properties as additivity of a Conley index and Morse inequalities hold. Even though the theory’s general structure is preserved, new proves and ideas are required by the new setup. In the further part, we use persistent homology – the topological data analysis main tool, to study the robustness of the structure of Morse sets. In particular, we construct a zigzag persistence module for weak Morse decomposition and Morse decomposition for multivector fields. Finally, we show some numerical experiments based on the presented theory. We discuss the algorithm for constructing the multivector field from a vector cloud. As a proof of concept, we study vector clouds obtained by sampling chosen continuous vector fields. In the first experiment, we algorithmically reconstruct the Conley-Morse graph. In the further experiments, we use the persistence homology to study Morse sets’ evolution with respect to a parameter modifying a dynamic. These experiments show the potential of the multivector fields theory as a new analysis tool for data with a dynamical nature

Persistence Bag-of-Words for Topological Data Analysis

Persistent homology (PH) is a rigorous mathematical theory that provides a robust descriptor of data in the form of persistence diagrams (PDs). PDs exhibit, however, complex structure and are difficult to integrate in today's machine learning workflows. This paper introduces persistence bag-of-words: a novel and stable vectorized representation of PDs that enables the seamless integration with machine learning. Comprehensive experiments show that the new representation achieves state-of-the-art performance and beyond in much less time than alternative approaches.Comment: Accepted for the Twenty-Eight International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI-19). arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1802.0485

Zapobieganie ostremu zapaleniu trzustki w czasie cholangiopankreatografii wstecznej ― czy już wszystko jasne?

Ostre zapalenie trzustki jest najczęstszym powikłaniem cholangiopankreatografii wstecznej występującym u 2–15% wszystkich pacjentów poddawanych tej procedurze. W artykule omówiono postępowanie farmakologiczne, techniki związane z cholangiopankreatografią wsteczną stosowane w celu  zredukowania ryzyka jatrogennego ostrego zapalenia trzustki oraz czynniki ryzyka związane z tym powikłaniem. Mechanizmy prowadzące do uszkodzeń tkanek w ostrym zapaleniu trzustki po cholangiopankreatografii wstecznej  stanowią kolejne etapy ewolucji procesu zapalnego  i  mogą potencjalnie stać się celem terapii prewencyjnej. Chociaż stosowanie  w badaniach klinicznych wielu cząsteczek wiązało się ze zmniejszeniem ryzyka ostrego zapalenia trzustki po cholangiopankreatografii wstecznej tylko niektóre z nich mają udowodnione działanie w dużych, randomizowanych badaniach. Stosowanie niesteroidowych leków przeciwazaplnych podawanych doodbytniczo należy do potwierdzonych metod prewencji ostrego zapalenie trzustki po cholangiopankreatografii wstecznej. W artykule podjęto próbę określenia i oceny znanych metod stosowanych w celu redukcji ryzyka jatrogennego ostrego zapalenia trzustki

Conley-Morse-Forman theory for generalized combinatorial multivector fields on finite topological spaces

We generalize and extend the Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields introduced in Mrozek (Found Comput Math 17(6):1585–1633, 2017). The generalization is threefold. First, we drop the restraining assumption in Mrozek (Found Comput Math 17(6):1585–1633, 2017) that every multivector must have a unique maximal element. Second, we define the dynamical system induced by the multivector field in a less restrictive way. Finally, we also change the setting from Lefschetz complexes to finite topological spaces. Formally, the new setting is more general, because every Lefschetz complex is a finite topological space, but the main reason for switching to finite topologcial spaces is because the latter better explain some peculiarities of combinatorial topological dynamics. We define isolated invariant sets, isolating neighborhoods, Conley index and Morse decompositions. We also establish the additivity property of the Conley index and the Morse inequalities

Computing Connection Matrices via Persistence-like Reductions

Connection matrices are a generalization of Morse boundary operators from the classical Morse theory for gradient vector fields. Developing an efficient computational framework for connection matrices is particularly important in the context of a rapidly growing data science that requires new mathematical tools for discrete data. Toward this goal, the classical theory for connection matrices has been adapted to combinatorial frameworks that facilitate computation. We develop an efficient persistence-like algorithm to compute a connection matrix from a given combinatorial (multi) vector field on a simplicial complex. This algorithm requires a single-pass, improving upon a known algorithm that runs an implicit recursion executing two-passes at each level. Overall, the new algorithm is more simple, direct, and efficient than the state-of-the-art. Because of the algorithm's similarity to the persistence algorithm, one may take advantage of various software optimizations from topological data analysis

Persistence codebooks for topological data analysis

Persistent homology is a rigorous mathematical theory that provides a robust descriptor of data in the form of persistence diagrams (PDs) which are 2D multisets of points. Their variable size makes them, however, difficult to combine with typical machine learning workflows. In this paper we introduce persistence codebooks, a novel expressive and discriminative fixed-size vectorized representation of PDs that adapts to the inherent sparsity of persistence diagrams. To this end, we adapt bag-of-words, vectors of locally aggregated descriptors and Fischer vectors for the quantization of PDs. Persistence codebooks represent PDs in a convenient way for machine learning and statistical analysis and have a number of favorable practical and theoretical properties including 1-Wasserstein stability. We evaluate the presented representations on several heterogeneous datasets and show their (high) discriminative power. Our approach yields comparable-and partly even higher-performance in much less time than alternative approaches

Fast perinuclear clustering of mitochondria in oxidatively stressed human choriocarcinoma cells

Mitochondrial dysfunction plays a crucial role in cell types that exhibit necrosislike death after activation of their death program. Tumour necrosis factor (TNF) induces abnormal, perinuclear clustering of mitochondria from an evenly spread distribution throughout the cytoplasm. The mitochondria withdraw from the cell periphery and aggregate in a unipolar perinuclear cluster. TNF-induced mitochondrial clustering is caused by impaired kinesin-mediated transportation of mitochondria. In this report, we describe a novel activity of menadione (MEN), namely the induction of an altered spatial distribution of mitochondria in the choriocarcinoma JAR cells. Strikingly, 2 hours of cell exposition to menadione did not disrupt the integrity of the plasma membrane, while the intracellular ATP level significantly decreased. Control (untreated) cells displayed a typically scattered distribution of filamentary mitochondria inside the cell. After 2 hours of MEN treatment the spatial distribution of the mitochondria was markedly altered to an asymmetric perinuclear clustered distribution. Menadione-stressed cells displayed a highly asymmetrical perinuclear clustered distribution of the mitochondria. The exposure of cells to MEN also results in a change in shape of the mitochondria into a population of enlarged granular structures. The results of our study demonstrate that in JAR cells menadione causes mitochondria to translocate from the cell periphery into the perinuclear region several hours before disruption of cell membrane integrity and cell death

Absolute measurement of the ^{1}S_{0} − ^{3}P_{0} clock transition in neutral ^{88}Sr over the 330 km-long stabilized fibre optic link

We report a stability below $7\times 10{}^{-17}$ of two independent optical lattice clocks operating with bosonic ${}^{88}$Sr isotope. The value (429228066418008.3(1.9)${}_{syst}$(0.9)${}_{stat}$~Hz) of the absolute frequency of the ${}^{1}S_{0}$ - ${}^{3}P_{0}$ transition was measured with an optical frequency comb referenced to the local representation of the UTC by the 330 km-long stabilized fibre optical link. The result was verified by series of measurements on two independent optical lattice clocks and agrees with recommendation of Bureau International des Poids et Mesures